z軸方向の一様な磁界 B の中に置かれた、一辺の長さ L の正方形コイルに電流 I が流れる状況を考えます。

磁界中を流れる電流には、アンペール力（フレミングの左手の法則） F = IBLsinθ が働きます。

図は、電検教室のHPから部分引用

 

電流が磁界を通るときに受ける力は、ベクトル外積で表現できる。

　　ベクトル演算　外積　ｃ＝a x b　

　　右ねじの法則: 右ねじの法則: ベクトルaからｂへ右ねじを回した時、進む方向が外積の方向
　　３次元座標では、 x軸ベクトル　ｘ　ｙ軸ベクトル　＝　Ｚ軸ベクトル　となる


図は、OGUEMON　線形代数入門から引用

 

　　電流 i　が　磁界　B　を通る時に受ける力は、 
　　F＝i Lx B  (i ：電流　L：長さ　B：磁界）

 

３次元座標系で磁界がZ方向、コイルの軸がZ軸方向とY軸方向の場合

それぞれのケースについて、各辺に働く力と、中心軸まわりのモーメント（トルク）を解説します。

1. コイルの中心軸（法線ベクトル）が z 方向の場合

　この状態では、コイルの面は xy 平面に平行です。

  • 各辺に働く力:
    • 磁界 B と電流 I は常に直交しているため、各辺に F = IBL の力が働きます。
    • 向きは、コイルを外側に広げようとする方向（または内側に縮めようとする方向）になります。
  • モーメント（トルク）:
    • 対向する辺に働く力は大きさが等しく、向きが反対で、かつ同一作用線上にあります。
    • したがって、コイルを回転させようとする力（偶力）は発生せず、 モーメントは 0 です。

 

2. コイルの中心軸（法線ベクトル）が y 方向の場合

　　この状態では、コイルの面は xz 平面に平行になります。

  • 各辺に働く力:
    • z 軸に平行な 2 辺: 電流の向きと磁界の向きが平行（または反平行）になるため、 力は働きません (F = 0)。
    • x 軸に平行な 2 辺: z方向に距離Lだけ離れた上辺と下辺は、磁界 B と電流 I が直交します。そのため、大きさ F = IBL の力が働きます。
      その力の方向が、上辺と下辺では反対になります。Ｚ方向に距離Ｌだけ離れＹ方向に働く反対方向の力なので、回転モーメントになるのです。
  • モーメント（トルク）:
    • これら 2 つの力は向きが反対で、作用線がずれているため、 偶力が発生します。
    • コイルをｘ軸まわりに回転させようとするモーメントが発生し、その大きさは N = F x L = IBL^2 （電流 x 磁界 x 面積）となります。
    • このモーメントは、コイルの法線ベクトルを磁界の向き（z 方向）に一致させようとする向きに働きます。

直流モータモデルでは

直流モータでは、外側にN極とS極があり、図では左のN極から右のS極に磁界が発生し、その中の電線巻いた回転子に直流電流が流れます。
１８０度回転するごとに、軸のブラシ部分で電流が同じ方向に流れるように切り替わります。
図の場合は、コイルの軸が磁界と直角のために、左右離れた電線を流れる電流は反対方向のため、電流と磁界で発生する力は反対方向。
そのため、回転力（回転モーメント）が発生します。

　図は、アイアール技術者教育研究所のモータ解説　に記載の解説図を引用

 

磁界とコイルと電流　まとめ

コイル軸の方向 各辺に発生するローレンツ力 モーメント 状態
z （磁界）方向 全ての辺に働く 0 コイルを拡張・収縮させる力が発生
y 方向
（磁界と直角）		 磁界（Ｚ軸）に平行な辺は 0
磁界に直角の上辺と下辺は反対方向		  F x L
= IBL^2
＝IBｘ面積		 磁界方向にコイル中心軸を
回転させる力（モーメント）が発生
磁石が北を指し示す理由